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路径计数(回溯法)
阅读量:742 次
发布时间:2019-03-21

本文共 904 字,大约阅读时间需要 3 分钟。

【问题描述】

从左上角出发,在5x5方格矩阵的边上行走,寻找满足以下条件的路线数量:

  • 总长度不超过12步;
  • 最后必须回到起点(左上角);
  • 路线不自交;
  • 不越出方格矩阵范围。
  • 这个问题类似于寻找长度限制的环形路径,要求路径不重叠且不能离开5x5的方格区域。我们需要计算所有符合条件的路径数量。

    severity: highquery: %5x%5 grid problem,Hamiltonian cycle,5x5 grid,cycle paths

    【技术背景】

    为了解决这个问题,我们使用深度优先搜索(DFS)算法进行计数。通过维护一个访问标记表(vis数组),我们可以确保每条路径都是无重复的路径。

    【算法设计】

  • 定义dx和dy数组,分别表示四个方向的变化量。
  • 定义一个计数器cnt来记录满足条件的路径数量。
  • 定义一个递归函数dfs(i,j,d),其中:
    • i和j分别表示当前方格的位置;
    • d表示当前路径的长度。
  • 函数逻辑:
    • 如果当前路径长度超过12步,返回。
    • 如果已到达起点,计数器加一。
    • 标记当前位置为已访问。
    • 对四个方向进行递归遍历。
    • 确保下一个位置在矩阵范围内且未被访问过。
    • 递归回溯,取消当前位置的访问标记。
  • 【实现细节】

    在代码中,我们通过调用dfs(0,1,1)和dfs(1,0,1)来启动遍历,分别从起点的右边和下边出发,以确保遍历尽可能多的路径。最后,通过cout输出计数器的值。

    【性能分析】

    考虑到5x5网格的规模较小,我们可以通过DFS算法有效地计算出所有符合条件的路径数量。在最坏情况下,网格中的每个方格将被访问一次,算法复杂度为O(5×5)=25次状态检查,每个状态的处理时间为常数时间。因此,总时间复杂度为O(25),性能非常可靠。

    【预期结果】

    通过对5x5网格的深度优先搜索,我们可以计算出所有符合要求的路径数量。预计有多种满足条件的路径段,尤其是较短的路径。最终计数器会给出详细的路径数目。如果需要获取准确计数,可以运行上述代码获得确切回答。

    Refs: %5x%5 grid problem,Hamiltonian cycle,5x5 grid,cycle paths

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